人脸识别经典算法一 特征脸方法（Eigenface）

这篇文章是撸主要介绍人脸识别经典方法的第一篇，后续会有其他方法更新。特征脸方法基本是将人脸识别推向真正可用的第一种方法，了解一下还是很有必要的。特征脸用到的理论基础PCA在另一篇博客里：特征脸(Eigenface)理论基础-PCA(主成分分析法) 。本文的参考资料附在最后了^_^

步骤一：获取包含M张人脸图像的集合S。在我们的例子里有25张人脸图像（虽然是25个不同人的人脸的图像，但是看着怎么不像呢，难道我有脸盲症么），如下图所示哦。每张图像可以转换成一个N维的向量（是的，没错，一个像素一个像素的排成一行就好了，至于是横着还是竖着获取原图像的像素，随你自己，只要前后统一就可以），然后把这M个向量放到一个集合S里，如下式所示。

步骤二：在获取到人脸向量集合S后，计算得到平均图像Ψ，至于怎么计算平均图像，公式在下面。就是把集合S里面的向量遍历一遍进行累加，然后取平均值。得到的这个Ψ其实还挺有意思的，Ψ其实也是一个N维向量，如果再把它还原回图像的形式的话，可以得到如下的“平均脸”，是的没错，还他妈的挺帅啊。那如果你想看一下某计算机学院男生平均下来都长得什么样子，用上面的方法就可以了。

步骤三：计算每张图像和平均图像的差值Φ，就是用S集合里的每个元素减去步骤二中的平均值。

步骤四：找到M个正交的单位向量un，这些单位向量其实是用来描述Φ（步骤三中的差值）分布的。un里面的第k（k=1,2,3...M)个向量uk是通过下式计算的，

当这个λk（原文里取了个名字叫特征值）取最小的值时，uk基本就确定了。补充一下，刚才也说了，这M个向量是相互正交而且是单位长度的，所以啦，uk还要满足下式：

上面的等式使得uk为单位正交向量。计算上面的uk其实就是计算如下协方差矩阵的特征向量：

其中

对于一个NxN（比如100x100）维的图像来说，上述直接计算其特征向量计算量实在是太大了（协方差矩阵可以达到10000x10000），所以有了如下的简单计算。

步骤四另解：如果训练图像的数量小于图像的维数比如（M<N^2)，那么起作用的特征向量只有M-1个而不是N^2个（因为其他的特征向量对应的特征值为0），所以求解特征向量我们只需要求解一个NxN的矩阵。这个矩阵就是步骤四中的AA^{T，我们可以设该矩阵为L，那么L的第m行n列的元素可以表示为：}

一旦我们找到了L矩阵的M个特征向量vl，那么协方差矩阵的特征向量ul就可以表示为：

这些特征向量如果还原成像素排列的话，其实还蛮像人脸的，所以称之为特征脸（如下图）。图里有二十五个特征脸，数量上和训练图像相等只是巧合。有论文表明一般的应用40个特征脸已经足够了。论文Eigenface for recognition里只用了7个特征脸来表明实验。

步骤五：识别人脸。OK，终于到这步了，别绕晕啦，上面几步是为了对人脸进行降维找到表征人脸的合适向量的。首先考虑一张新的人脸，我们可以用特征脸对其进行标示：

其中k=1,2...M,对于第k个特征脸uk，上式可以计算其对应的权重，M个权重可以构成一个向量：

perfect，这就是求得的特征脸对人脸的表示了！

那如何对人脸进行识别呢，看下式：

其中Ω代表要判别的人脸，Ωk代表训练集内的某个人脸，两者都是通过特征脸的权重来表示的。式子是对两者求欧式距离，当距离小于阈值时说明要判别的脸和训练集内的第k个脸是同一个人的。当遍历所有训练集都大于阈值时，根据距离值的大小又可分为是新的人脸或者不是人脸的两种情况。根据训练集的不同，阈值设定并不是固定的。

后续会有对PCA理论的补充^_^.已补充理论：特征脸(Eigenface)理论基础-PCA(主成分分析法)

参考资料：

1、Eigenface for Recognition

2、特征脸维基百科

3、Eigenface_tutorial