python素数筛选法浅析
时间：2020-12-23 12:38:55 | 栏目：Python代码 | 点击：次
原理：
素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数整除的数。在加密应用中起重要的位置，比如广为人知的RSA算法中，就是基于大整数的因式分解难题，寻找两个超大的素数然后相乘作为密钥的。一个比较常见的求素数的办法是埃拉托斯特尼筛法(the Sieve of Eratosthenes) ，说简单一点就是画表格，然后删表格，如图所示：
从2开始依次往后面数，如果当前数字一个素数，那么就将所有其倍数的数从表中删除或者标记，然后最终得到所有的素数。
有一个优化：
标记2和3的倍数的时候，6被标记了两次。所以从i的平方开始标记，减少很多时间。
比如3的倍数从9开始标记，而不是6，并且每次加6。
除了2以外，所有素数都是奇数。奇数的平方还是奇数，如果再加上奇数就变成了偶数一定不会是素数，所以加偶数(2倍素数)。
预先处理了所有偶数。
注意：1既不是素数也不是合数，这里没有处理1。
#! prime.py
import time
def primes(n):
P = []
f = []
for i in range(n+1):
if i > 2 and i%2 == 0:
f.append(1)
else:
f.append(0)
i = 3
while i*i <= n:
if f[i] == 0:
j = i*i
while j <= n:
f[j] = 1
j += i+i
i += 2
P.append(2)
for i in range(3,n,2):
if f[i] == 0:
P.append(i)
return P
def isPrime(n):
if n > 2 and n%2 == 0:
return 0
i = 3
while i*i <= n:
if n%i == 0:
return 0
i += 2
return 1
def primeCnt(n):
cnt = 0
for i in range(2,n):
if isPrime(i):
cnt += 1
return cnt
if __name__ == '__main__':
start = time.clock()
n = 10000000
P = primes(n);
print("There are %d primes less than %d"%(len(P),n))
#for i in range(10):
# print(P[i])
print("Time: %f"%(time.clock()-start))
#for n in range(2,100000):
# if isPrime(n):
# print("%d is prime"%n)
#print("%d is "%n + ("prime" if isPrime(n) else "not prime"))
start = time.clock()
n = 1000000
print("There are %d primes less than %d"%(primeCnt(n),n))
print("Time: %f"%(time.clock()-start)
用素数筛选法求1千万以内的素数用了5.767s，
普通素数判断法求1百万以内的素数用了9.642s，
用C++素数筛选法求1亿以内的素数用了0.948s，
用C++普通素数判断法求1千万以内的素数用了3.965s，
可见解释语言确实比编译语言慢很多。
附C++程序，用了位压缩优化空间
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100000001
unsigned f[(N>>5)+5];
int p[5761456],m;
void init()
{
int i,j;
for(i=4;i<N;i+=2)
f[i>>5]|=1<<(i&0x1F);
p[m++]=2;
for(i=3;i*i<N;i+=2)
if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F))))
{
p[m++]=i;
for(j=i*i;j<N;j+=i+i)
f[j>>5]|=1<<(j&0x1F);
}
for(;i<N;i+=2)
if(!(f[i>>5]&(1<<(i&0x1F))))
p[m++]=i;
}
int is_prime(int n)
{
int i;
for(i=0;p[i]*p[i]<=n;i++)
if(n%p[i]==0)
return 0;
return 1;
}
int isPrime(int n)
{
if(n>2 && n%2==0)
return 0;
int i=3;
while(i*i<=n)
{
if(n%i==0)
return 0;
i+=2;
}
return 1;
}
int main()
{
int n=0,i;
clock_t st=clock();
init();
/*for(i=2;i<10000000;i++)
if(isPrime(i))
n++;*/
printf("%d %dms\n",m,clock()-st);
/*while(~scanf("%d",&n),n)
{
i=lower_bound(p,p+m,n+1)-p;
printf("%d\n",i);
}*/
return 0;
}