C语言实现求最大公约数的三种方法

题目描述

求任意两个正整数的最大公约数

问题分析

最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

——百度百科

最大公因数的求法有不少，本文我将采用穷举法、辗转相除法、更相减损法三种方法，求两个正整数的最大公约数（最大公因数）。

代码实现

方法一：穷举法

穷举法（列举法），是最简单最直观的一种方法。

具体步骤为：先求出两个数的最小值min（最大公约数一定小于等于两个数的最小值），接着从最小值min递减遍历（循环结束条件为i > 0），如果遇到一个数同时为这两个整数的因数，则使用break退出遍历（退出循环），这时的遍历值i即为两个正整数的最大公约数。

#include <stdio.h>

/**
 * @brief 获取两个正整数的最大公因数（穷举法）
 * @param num1  第一个正整数
 * @param num2  第二个正整数
 * @return      最大公因数
 */
int Get_Max_Comm_Divisor(int num1, int num2)
{
    int i = 0;
    //获取两个整数的最小值
    int min = num1 < num2 ? num1 : num2;

    //从两个数的最小值开始递减遍历
    for(i = min; i > 0; i--)
    {
        //i为num1和num2的公倍数
        if(num1 % i == 0 && num2 % i == 0)
            break;
    }
    return i;
}

int main()
{
    int num1 = 0, num2 = 0;
    puts("请输入两个正整数.");
    scanf("%d%d", &num1, &num2);
    printf("最大公约数为%d.\n", Get_Max_Comm_Divisor(num1, num2));
    return 0;
}

运行结果

方法二：辗转相除法

辗转相除法又称欧几里得算法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

.欧几里得算法是用来求两个正整数最大公约数的算法。古希腊数学家欧几里得在其著作《The Elements》中最早描述了这种算法,所以被命名为欧几里得算法。

扩展欧几里得算法可用于RSA加密等领域。

举例：

假如需要求 1997 和 615 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：

1997 / 615 = 3 (余 152)

615 / 152 = 4(余7)

152 / 7 = 21(余5)

7 / 5 = 1 (余2)

5 / 2 = 2 (余1)

2 / 1 = 2 (余0)

至此，最大公约数为1

以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 1997 和 615 的最大公约数 1。

——百度百科

数学学渣的我觉得这个小算法特别神奇，但我并不想深入研究（为什么能用辗转相除求最大公因数呢），假如你想证明，可以自己试着简单地证明一下，我就直接选择强记了，嘿嘿。

虽然算法不好理解，但实现过程并不算难，按照辗转相除的概念，转换成代码即可。

具体步骤：先求出两个数num1和num2的余数remainder。然后将num2赋值给num1，让上次取余时的除数num2作为下次取余时的被除数。同时将当前的余数remainder作为下次取余的除数。这样一直地辗转相除，直到余数为0，这时的除数num2就是我们要求的最大公因数。

一开始两个数不需要区分大小，因为如果num1比num2小，那么取余的结果还是num1，这样下次取余就变成了num2 % num1，即大的值在左边，作为被除数）

#include <stdio.h>

/**
 * @brief 获取两个正整数的最大公因数（辗转相除法）
 * @param num1  第一个正整数
 * @param num2  第二个正整数
 * @return      最大公因数
 */
int Get_Max_Comm_Divisor(int num1, int num2)
{
    int remainder = num1 % num2;  //余数

    while(remainder != 0)
    {
        num1 = num2;      //更新被除数
        num2 = remainder; //更新除数
        remainder = num1 % num2; //更新余数
    }
    return num2;  //最后的除数即为最大公因数
}

int main()
{
    int num1 = 0, num2 = 0;
    puts("请输入两个正整数.");
    scanf("%d%d", &num1, &num2);
    printf("最大公约数为%d.\n", Get_Max_Comm_Divisor(num1, num2));
    return 0;
}

运行结果

方法三：更相减损法

《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，原文是：

可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。

白话文译文：

（如果需要对分数进行约分，那么）可以折半的话，就折半（也就是用2来约分）。如果不可以折半的话，那么就比较分母和分子的大小，用大数减去小数，互相减来减去，一直到减数与差相等为止，用这个相等的数字来约分。

——百度百科

还有一种叫辗转相减的方法，好像和更相减损法相同，至少原理是一样的。

辗转相减法（求最大公约数），即尼考曼彻斯法，其特色是做一系列减法，从而求得最大公约数。例如 ：两个自然数35和14，用大数减去小数，(35,14)->(21,14)->(7,14)，此时，7小于14，要做一次交换，把14作为被减数，即(14,7)->(7,7)，再做一次相减，结果为0，这样也就求出了最大公约数7。

——百度百科

刚才的辗转相除已经让我很吃惊了，没想到相减的方法。不过还是老规矩，直接用代码去实现这个方法，而不去证明。

不同于辗转相除法，更相减损法是需要考虑两个数的大小的，只能用大的数作为被减数，小的作为减数。

实现步骤：首先求出两个正整数num1和num2的差值diff，然后将num2赋值给num1，让上次相减时的减数num2作为下次相减时的被减数。同时将当前的差值diff作为下次相减的减数。这样一直地辗转相减，直到差值为0，这时的除数num2就是我们要求的最大公因数。

#include <stdio.h>

/**
 * @brief 获取两个正整数的最大公因数（更相减损法）
 * @param num1  第一个正整数
 * @param num2  第二个正整数
 * @return      最大公因数
 */
int Get_Max_Comm_Divisor(int num1, int num2)
{
    //两数相减的结果（取正值）
    int diff = num1 > num2 ? num1 - num2 : num2 - num1;

    while(diff != 0)
    {
        num1 = num2;   //更新被减数
        num2 = diff; //更新减数
        diff = num1 > num2 ? num1 - num2\
               : num2 - num1; //更新两数相减的结果（取正值）
    }
    return num2;  //最后的减数即为最大公因数
}

int main()
{
    int num1 = 0, num2 = 0;
    puts("请输入两个正整数.");
    scanf("%d%d", &num1, &num2);
    printf("最大公约数为%d.\n", Get_Max_Comm_Divisor(num1, num2));
    return 0;
}

运行结果

至于哪种方法效率更高，感兴趣的朋友可以去算算，我只知道穷举是效率最低的。