C语言数据结构系列之树的概念结构和常见表示方法

0x00 树的概念

? 树是一种非线性的数据结构，它是由 n（n >= 0）个有限节点组成的一个具有层次关系的集合。

? 那么为什么叫 "树" 呢？

? 我们之所以把它成为 "树"，是因为它很像我们现实生活中的树。只是它是倒过来的，根朝上叶子朝下。

0x01 树的结构

① 有一个特殊的节点，成为根节点，根节点不存在前驱节点。

② 除根节点外，其余节点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm，期中没一个集合 Ti(1 <= i <= m) 又是一颗结构于树类似的字数。每颗子树的节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

③ 因此，树是递归定义的。因为任何树都会被分成根和子树。

?注意：树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

0x02 树的相关概念

?  节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度。 比如上图中，A的度为6。

? 叶子结点：又称终端节点，度为0的节点称为叶子结点。 比如上图中，BCHIPQ等节点就是叶子结点，因为它们的度为0。

? 分支节点：又称非终端节点，度不为0的节点称为分支节点。 比如上图中，DEFG等节点就是分支节点，因为他们的度不为0。

? 父节点：又称双亲结点，若一个节点有子节点，则这个节点称作其子节点的父节点。 比如上图中，A是B的父节点。

? 子节点：又称孩子节点，若一个节点有根节点，则称为该节点的子节点。 如上图，B是A的子节点。

? 兄弟节点：具有相同父节点的节点互相称为兄弟节点。 同一个父亲生的才算。如上图，B和C是兄弟节点，它们的父节点都是A。

? 树的度：一棵树中最大的节点的度称为树的度。 如上图，最大的节点是A，有6个子树，故A的度为6，所以树的度为6。

? 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。 也有将根定义为第0层，根的子节点为第1层的。但是我们建议还是使用根为第1层来定义比较好。

? 树的高度：又称树的深度，树中节点的最大层次。 如上图，树的高度为 4。

??♂? 堂兄弟节点：父节点在同一层的节点，它们互为堂兄弟。如上图，H 和 I 互为堂兄弟。

? 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点。 如上图·，A是所有节点的祖先。

????? 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。 如上图，所有节点都是A的子孙。

? 森林：由 m(m > 0) 棵互不相交的树的集合称为森林。 比如并查集，多个树构成森林。

0x02 树的表示

? 以前学单链表时只有一个指针，双链表两个指针，但是树有多少个指针是不确定的，因为树没有规定一个节点最多有多少个孩子。那我们该如何定义结构呢？

? 方式一：假设说明了树的度为N，才能勉强用

struct TreeNode {
    int data;
    struct TreeNode* sub[N]; // 指针数组
};

问题点：

① 可能会存在不少的空间浪费。 

② 万一没有限定树的度为多少呢？这个方式就废了。

? 方式二：vector

// 假设我们定义了一个顺序表
// typedef int STLDataType;  //顺序表的数据类型
 
// 顺序表中存节点的指针
typedef struct TreeNode* SLDataType; //SeqList
 
struct TreeNode {
    int data;
    SeqList s;  // s为SLDataType* array;
};

（C++中这里可以用 vector，但是C里没有）

即使你没有告诉我度是多少，我有多少个孩子我就存多少个孩子，所以这里不需要关心度的问题。但是这里 s 的结构相对复杂，s 里面有一个类型为SLDataType* 的数组，这个数组已经是二级指针了，SLDataType 展开后又是一个 struct TreeNode* 。

? 方式三：双亲表示法

利用结构数组存储（更加复杂）

struct TreeNode {
    int parenti;
    int data;
};

[ A -1] [ B0 ] [ C0 ] [ D0 ] ...... [ H 3 ]  

   ?  每一个元素中存的是结构体   struct TreeNode arr[10]

每个元素内只存自己的值和父亲的下标（A没有父亲是-1，B的父亲下标是0…… H的父亲是D下标为3），可以通过一个值找到自己父亲。

? 上列的方式各有优缺点，那么有没有最优的方法？

? 当然有，它就是 —— 《左孩子右兄弟表示法》  有了这个方法，其他的都是渣渣！

typedef int DataType;
 
struct Node {
    struct Node* _firstChind1;   // 永远指向第一个孩子
    struct Node* _pNextBrother;  // 指向孩子右边的兄弟
    DataType _data;
};

? 解读：无论你有多少个孩子，它都只存两个指针。一个指针永远指向第一个孩子，另一个指针指向孩子右边的兄弟（亲兄弟）。这个树的度无论为多少，也不需要用顺序表存，但是你任何一个节点有多少个孩子都能给你表示出来，通过第一个孩子把所有孩子都找出来。不复杂也没有浪费，只用两个指针就把链接关系都表示出来了，不得不说设计这个的人真是太??了！

 0x03 树在实际中的运用

文件系统的目录树结构、网络拓扑，最短路径问题，搜索引擎、思维导图等