C语言数据结构系列篇二叉树的概念及满二叉树与完全二叉树

? 链接：C语言数据结构系列之树的概念结构和常见表示方法

0x00 概念

? 定义：二叉树既然叫二叉树，顾名思义即度最大为2的树称为二叉树。 它的度可以为 1 也可以为 0，但是度最大为 2 。 

? 一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

     ① 由一个根节点加上两颗被称为左子树和右子树的二叉树组成     

     ② 或者为空

? 观察上图我们可以得出如下结论：

     ① 二叉树不存在度大于 2 的节点，换言之二叉树最多也只能有两个孩子。

     ② 二叉树的子树有左右之分，分别为左孩子和右孩子。次序不可颠倒，因此二叉树是有序树。

? 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

0x01 满二叉树

? 定义：一个二叉树，如果每一层的节点数都达到了最大值（均为2），则这个二叉树就可以被称作为 "满二叉树" 。

? 换言之，如果一个二叉树的层数为，且节点总数是 ，则他就是一个满二叉树。

? 计算公式：

 ① 已知层数求总数：

 ② 已知总数求层数： 

? 十亿个节点，满二叉树是多少层？

? ≈ 10亿多

0x02 完全二叉树

? 定义：对于深度为 的，有个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为的满二叉树中编号从 1 至的结点一一对应时称之为完全二叉树。

? 前 层是满的，最后一层不满，但是最后一层从左到右是连续的。

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。所以，满二叉树是一种特殊的完全二叉树（每一层节点均为2）。

? 常识：

① 完全二叉树中，度为 1 的最多只有 1 个。

② 高度为  的完全二叉树节点范围是   

0x03 二叉树的性质

? 四点规则：

 ① 若规定根节点的层数为 1 ，则一颗非空二叉树的第  层上最多有  个节点。

 ② 若规定根节点的层数为 1 ，则深度为  的二叉树最大节点数是  .

 ③ 对任何一颗二叉树，如果度为 0 其叶子结点个数为  ，度为 2 的分支节点个数为  ，则有   。换言之，度为 0 的永远比度为 2 的多一个叶子结点。

 ④ 若规定根节点的层数为 1 ， 具有  个节点的满二叉树的深度     （log是以2为底，n+1的对数）。

? 对于有  个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从 0 开始编号，则对于序号为  的节点有：

（非完全二叉树，也可以用数组存放，但会浪费很多空间）

假设  是父节点在数组中的下标，此公式仅适用于完全二叉树：

① 求左孩子： 

② 求右孩子：

③ 求父亲（假设不关注是左孩子还是右孩子）： 

④  判断是否有左孩子：

⑤  判断是否由右孩子：

 ? PS：二叉树不一定要标准，比如这个其实也是二叉树：

课后练习：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

     A.  不存在这样的二叉树

     B.  200

     C.  198

     D.  199

2. 在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

     A.  n

     B.  n+1

     C.  n-1

     D.  n/2

3.  一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

     A.  11

     B.  10

     C.  8

     D.  12

5.  一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

     A.  383

     B.  384

     C.  385

     D.  386

参考资料：

Microsoft. MSDN(Microsoft Developer Network)[EB/OL]. []. .

百度百科[EB/OL]. []. https://baike.baidu.com/.

? 笔者：王亦优

? 更新： 2021.11.24

? 勘误： 无

? 声明： 由于作者水平有限，本文有错误和不准确之处在所难免，本人也很想知道这些错误，恳望读者批评指正！

本篇完。