python决策树之CART分类回归树详解

决策树之CART（分类回归树）详解，具体内容如下

1、CART分类回归树简介

  CART分类回归树是一种典型的二叉决策树，可以处理连续型变量和离散型变量。如果待预测分类是离散型数据，则CART生成分类决策树；如果待预测分类是连续型数据，则CART生成回归决策树。数据对象的条件属性为离散型或连续型，并不是区别分类树与回归树的标准，例如表1中，数据对象 xi 的属性A、B为离散型或连续型，并是不区别分类树与回归树的标准。

表1

2、CART分类回归树分裂属性的选择

  2.1 CART分类树――待预测分类为离散型数据

  选择具有最小 Gain_GINI 的属性及其属性值，作为最优分裂属性以及最优分裂属性值。 Gain_GINI 值越小，说明二分之后的子样本的“纯净度”越高，即说明选择该属性（值）作为分裂属性（值）的效果越好。
  对于样本集 S ， GINI 计算如下：

其中，在样本集 S 中， Pk 表示分类结果中第 k 个类别出现的频率。

  对于含有 N 个样本的样本集 S ，根据属性 A 的第 i 个属性值，将数据集 S 划分成两部分，则划分成两部分之后， Gain_GINI 计算如下：

其中， n1 、 n2 分别为样本子集 S1 、 S2 的样本个数。

  对于属性 A ，分别计算任意属性值将数据集划分成两部分之后的 Gain_GINI ，选取其中的最小值，作为属性 A 得到的最优二分方案：

对于样本集 S ，计算所有属性的最优二分方案，选取其中的最小值，作为样本集 S 的最优二分方案：

所得到的属性 A 及其第 i 属性值，即为样本集 S 的最优分裂属性以及最优分裂属性值。

  2.2 CART回归树――待预测分类为连续型数据

  区别于分类树，回归树的待预测分类为连续型数据。同时，区别于分类树选取 Gain_GINI 为评价分裂属性的指标，回归树选取 Gain_σ 为评价分裂属性的指标。选择具有最小 Gain_σ 的属性及其属性值，作为最优分裂属性以及最优分裂属性值。 Gain_σ 值越小，说明二分之后的子样本的“差异性”越小，说明选择该属性（值）作为分裂属性（值）的效果越好。

  针对含有连续型分类结果的样本集 S ，总方差计算如下：

其中， μ 表示样本集 S 中分类结果的均值， Ck 表示第 k 个分类结果。

  对于含有 N 个样本的样本集 S ，根据属性 A 的第 i 个属性值，将数据集 S 划分成两部分，则划分成两部分之后， Gain_σ 计算如下：

  对于属性 A ，分别计算任意属性值将数据集划分成两部分之后的 Gain_σ ，选取其中的最小值，作为属性 A 得到的最优二分方案：

  对于样本集 S ，计算所有属性的最优二分方案，选取其中的最小值，作为样本集 S 的最优二分方案：

所得到的属性 A 及其第 i 属性值，即为样本集 S 的最优分裂属性以及最优分裂属性值。

3、CART分类回归树的剪枝

  由于决策树的建立完全是依赖于训练样本，因此该决策树对训练样本能够产生完美的拟合效果。但这样的决策树对于测试样本来说过于庞大而复杂，可能产生较高的分类错误率。这种现象就称为过拟合。因此需要将复杂的决策树进行简化，即去掉一些节点解决过拟合问题，这个过程称为剪枝。

  剪枝方法分为预剪枝和后剪枝两大类。预剪枝是在构建决策树的过程中，提前终止决策树的生长，从而避免过多的节点产生。预剪枝方法虽然简单但实用性不强，因为很难精确的判断何时终止树的生长。后剪枝是在决策树构建完成之后，对那些置信度不达标的节点子树用叶子结点代替，该叶子结点的类标号用该节点子树中频率最高的类标记。后剪枝方法又分为两种，一类是把训练数据集分成树的生长集和剪枝集；另一类算法则是使用同一数据集进行决策树生长和剪枝。常见的后剪枝方法有CCP(Cost Complexity Pruning)、REP(Reduced Error Pruning)、PEP(Pessimistic Error Pruning)、MEP(Minimum Error Pruning)。其中，悲观错误剪枝法PEP(Pessimistic Error Pruning)在“决策树之C4.5算法详解”中有详细介绍，感兴趣的小童鞋可以了解学习。这里我们详细介绍CART分类回归树中应用最广泛的剪枝算法――代价复杂性剪枝法CCP(Cost Complexity Pruning)。

  代价复杂性剪枝法CCP(Cost Complexity Pruning)主要包含两个步骤：（1）从原始决策树 T0 开始生成一个子树序列 {T0,T1,...,Tn} ，其中， Ti+1 从 Ti 产生， Tn 为根节点。（2）从第1步产生的子树序列中，根据树的真实误差估计选择最佳决策树。

  CCP剪枝法步骤（1）

  生成子树序列 {T0,T1,...,Tn} 的基本思想是从 T0 开始，裁剪 Ti 中关于训练数据集误差增加最小的分枝来得到 Ti+1 。实际上，当1棵树 T 在节点 t 处剪枝时，它的误差增加直观上认为是 R(t)−R(Tt) ，其中， R(t) 为在节点 t 的子树被裁剪后节点 t 的误差， R(Tt) 为在节点 t 的子树没被裁剪时子树 Tt 的误差。然而，剪枝后， T 的叶子数减少了 L(Tt)−1 ，其中， L(Tt) 为子树 Tt 的叶子数，也就是说， T 的复杂性减少了。因此，考虑树的复杂性因素，树分枝被裁剪后误差增加率由下式决定：

其中， R(t) 表示节点 t 的子树被裁剪后节点 t 的误差， R(t)=r(t)∗p(t) ， r(t) 是节点 t 的误差率， p(t) 是节点 t 上的样本个数与训练集中样本个数的比例。 R(Tt) 表示节点 t 的子树没被裁剪时子树 Tt 的误差，即子树 Tt 上所有叶子节点的误差之和。

   Ti+1 就是选择 Ti 中具有最小 α 值所对应的剪枝树。

  例如：图1中 ti 表示决策树中第 i 个节点，A、B表示训练集中的两个类别，A、B之后的数据表示落入该节点分别属于A类、B类的样本个数。

  图1，决策树中训练样本总个数为80。对于节点 t4 ，其中，A类样本46个，B类样本4个，根据大多数原则，则节点 t4 中样本为A类，故节点 t4 的子树（ t8 、 t9 ）被裁剪之后 t4 的误差为： 450∗5080=480 。节点 t4 的子树（ t8 、 t9 ）被裁剪之前 t4 的误差为： 145∗4580+25∗580=380 。故 α(t4)=480−3802−1=0.0125 。类似过程，依次得到所有节点的误差增加率，如表2：

表2

  从表2可以看出，在原始树 T0 行，4个非叶节点中 t4 的 α 值最小，因此，裁剪 T0 的 t4 节点的分枝得到 T1 ；在 T1 行，虽然 t2 和 t3 的 α 值相同，但裁剪 t2 的分枝可以得到更小的决策树，因此， T2 是裁剪 T1 中的 t2 分枝得到的。

  CCP剪枝法步骤（2）

  如何根据第1步产生的子树序列 {T0,T1,...,Tn} ，选择出1棵最佳决策树是CCP剪枝法步骤（2）的关键。通常采用的方法有两种，一种是V番交叉验证(V-fold cross-validation)，另一种是基于独立剪枝数据集。此处不在过分赘述，感兴趣的小童鞋，可以阅读参考文献[1][2][3]等。

参考文献

[1] 魏红宁. 决策树剪枝方法的比较[J]. 西南交通大学学报, 2005, 40(1):44-48.
[2] 张宇. 决策树分类及剪枝算法研究[D]. 哈尔滨理工大学, 2009.
[3] Breiman L, Friedman J H, Olshen R, et al. Classification and Regression Trees[J]. Biometrics, 1984, 40(3):358.