C++数位DP复杂度统计数字问题示例详解

Tips：如果你是真的不理解，不要只看，拿出笔来跟着步骤自己分析。

一、问题描述：

一本书的页码从自然数 1 开始顺序编码直到自然数 n 。书的页码按照通常的习惯编排， 每个页码不含多余的前导数字 0。 例如， 第 6 页用数字 6 表示而不是 06 或 006等。 数字计数问题要求对给定书的总页码 n，计算书的全部页码分别用到多少次数字 0、 1、... 、9。

二、问题分析：

1. 抽取题意：

简单来说就是就是给定一个数字 n，统计 1~n 中用到了多少次数字0~9。

2. 初步思考：

很容易想到要分数位(如个位、十位、百位)来考虑。

为了方便思考，我们做一些约定：

从 0 开始考虑，即考虑0~n中用到了多少次数字0~9，同时计算前导0。

用一个长度为10的数组ans[10] 来存储各个数字的数量。

从最低位开始分析还是最高位开始分析？

应该从最高位开始分析。为什么不先从个位开始考虑呢？因为数字在有除个位外高位(如十位、百位）的情况下，低位是作用于高位的，低位是高位的补充。在这个问题中，单纯的低位并不能说明什么。

3. 示例分析：

① 对于一位数 D 来说，0~D 中用到的数字个数即 0~D 各一次。

② 对于两位数 CD 来说，我们先考虑C，即C0，先不管C有多大，当C可以为0时，有00，01, 02, ... , 09 这样的数字，则我们知道，C在为0的时候个位0~9的数字各用了一次，同时C本身被用到了10次；当C为1时，有这样的数字10,11,12, ..., 19 ，我们知道 C 为1的时候个位0~9的数字各用了一次，同时C 被用了10次。

以此类推我们知道，C每大一，个位数字0~9就都会被用到1 次。并且本身作为十位的C，C每大一，当前C表示的数字就会被用到10次。

注意此时C不能为最大值，因为C为最大值的话按照上述方法考虑，可能超过CD本来的值。

再来考虑D，

当C为最大值的时候，用到的数字即C0，C1，...，CD ，由此我们知道C为最大值时C会被用D+1次，0~D各用了一次。

经过总结得到，在考虑前导0的情况下，一个十位数字CD 0~9的数字用到的情况如下：

考虑十位得到的 
ans [ 0~9 ] + 1*C  （虽然此时不能考虑十位最大值，但是有0啊） 
ans [ 0~C-1 ] + 10^1   
ans [C] + (D+1)  （此时十位取最大值）
 
考虑个位得到的
ans[ 0~D ] + 1

③ 有了上面的经验，我们来考虑三位数 ABC

首先对于百位A，即A00, A01, ... , A99

我们来统计一下个位和十位上的数字即 00，01，...，99加起来一共用了多少次0~9

按照上面的想法我们很容易知道，十位从0开始每加一，个位0~9就都会被用 1 次，同时十位本身，会被用到10次。这样我们知道每个数字都被用了 10*1 + 10 次，即20次。

同理并根据上面的结论，对于 000，001，...，999 ，我们知道，如果百位从0开始每加一，个位和十位的数字组合在一次0~9各会被用到 20次，同时作为百位本身，会被用到100次。这样我们知道每个数字都被用了 10*20 + 10^2 次，即300次。

根据这个思想很容易发现规律，对于n 位的数字 0 到 n 位的数字9，设 0~9 各数字会被用到的次数为F（n），则有 F(n) = 10 * F(n-1) + 10^(n-1)，其中F（1）= 1

我们把结果记入一个名为dp 的数组：dp[0] = 0, dp[1]=1, dp[2]=20, dp[3]=300 , ....

这样我们可以知道

仅考虑百位A，有 
ans [ 0~9 ] + 20*A 
ans [0~A-1] + 10^2 
ans [ A ] + (BC + 1)
 
仅考虑十位，有
ans[ 0~9] + 1*B 
ans[ 0~B-1] + 10^1 
ans[ B ] + (C+1)
 
仅考虑个位 
ans[ 0~C ] +1
 

4. 总结规律：

总结上方的规律可知，

在计入前导0的情况下，要考虑0~n 的数用到了多少各0~9的数字，应该自高向低逐次取出每一位分析

设取出的一位为数字为 X，同时其位于从个位数起的第 Y 位，剩余的低位构成的数字为 Z ，

则答案计算方法为：

ans[0~9] + dp[Y-1]*X   （当X < max 时考虑低位） 
ans[0~X-1] + 10^(Y-1)  (当X < max 时考虑X) 
ans[X] + (Z+1)    （当 X = max 时考虑 X）
 
 
 

经检查，该方法适用于个位及特殊情况。

5. 解除约定：

我们来考虑如何除去前导0

首先要明白一件事，前导0只对0的计数产生影响。

那么前导0是在哪里产生的呢？

如果上面说的你都明白了，那么很容易知道就在计算最高位时的这两步

ans[0~9] + dp[Y-1]*X   （当X < max 时考虑低位）
ans[0~X-1] + 10^(Y-1)  (当X < max 时考虑X)

在最高位为0的时候多余出来的

按照上述方法考虑，设 n 位数多余出来的0的个数为 G(n)

① 你可以想象把所有数字都右对齐，得到：

G (1) = 0

G (2) = 10

G (3) = 10 + 100

......

G (n) = 10^1 + 10^2 + ... + 10^(n-1) ，其中 n>2

② 或者这样想：

两位数可以对所有个位数在十位补0，三位数可以在两位数的基础上再在百位上对所有两位数再补一个0，以此类推，易知这也是一个dp

得到 G (n) = G(n-1) + 10^(n-1)，其中 G(1) = 0，n>2

至此，思考部分完成。

三、 编写代码：

算法时间复杂度仅为 O ( log10(n) ) ，接近 O (1) ，吊打暴力 O (nlog10n) 的算法。

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
typedef long long LL; 
LL n;
LL dp[20], ans[20],zeroNum[20];  //zeroNum 用于记录 n 位数的前导 0 个数
LL pow10[20];  //pow10 用于记录 10 的次方数
void makeDp(){
    pow10[0]=1;
    for(int i=1;i<15;i++) pow10[i] = pow10[i-1]*10;
    dp[0]=0,dp[1]=1;
    zeroNum[0]=zeroNum[1]=0;
    for(int i=2;i<15;i++){
        pow10[i]=pow10[i-1]*10;
        zeroNum[i]=zeroNum[i-1] + pow10[i-1];
        dp[i]=10*dp[i-1] + pow10[i-1];
    } 
} 
void solve(LL n,LL ans[]){
    if(n==0){
        ans[0]=1;
        return;
    }
    LL bitNum = log10(n) + 1;
    LL num[20];
    LL nTmp = n;
    for(int i=1;i<=bitNum;i++){
        num[i] = nTmp%10;
        nTmp/=10;
    }
    for(int i=bitNum;i>=1;i--){
        LL x = num[i];
        LL y = i;
        n -= x*pow10[y-1];
        LL z = n;
        for(int j=0;j<10;j++){
            ans[j] += dp[y-1]*x;
        }
        for(int j=0;j<x;j++){
            ans[j]+=pow10[y-1];
        }
        ans[x] += z+1;
    }
    ans[0]-=zeroNum[bitNum];
} 
int main(){
    cin>>n;  
    makeDp();   
    solve(n,ans);
    for(int i=0;i<10;i++){
        if(i==0) printf("%lld\n", ans[i]-1);
        else printf("%lld\n",ans[i]);
    }
}

四、 相关例题：

洛谷P2602：https://www.luogu.com.cn/problem/P2602

题目描述

给定两个正整数 aa 和 bb，求在 [a,b][a,b] 中的所有整数中，每个数码(digit)各出现了多少次。

输入格式

仅包含一行两个整数 a,ba,b，含义如上所述。

输出格式

包含一行十个整数，分别表示 0\sim 90?9 在 [a,b][a,b] 中出现了多少次。

输入输出样例

输入

1  99

输出

9 20 20 20 20 20 20 20 20 20

说明/提示

数据规模与约定

对于 30% 的数据，保证 a≤ b ≤ 10^6；

对于 100% 的数据，保证 1≤a≤b≤10^12。

改改代码直接交：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; 
typedef long long LL; 
LL a,b;
LL dp[20], ans1[20],ans2[20],zeroNum[20];
LL pow10[20]; 
void makeDp(){
    pow10[0]=1;
    for(int i=1;i<15;i++) pow10[i] = pow10[i-1]*10;
    dp[0]=0,dp[1]=1;
    zeroNum[0]=zeroNum[1]=0;
    for(int i=2;i<15;i++){
        pow10[i]=pow10[i-1]*10;
        zeroNum[i]=zeroNum[i-1] + pow10[i-1];
        dp[i]=10*dp[i-1] + pow10[i-1];
    } 
} 
void solve(LL n,LL ans[]){
    if(n==0){
        ans[0]=1;
        return;
    }
    LL bitNum = log10(n) + 1;
    LL num[20];
    LL nTmp = n;
    for(int i=1;i<=bitNum;i++){
        num[i] = nTmp%10;
        nTmp/=10;
    }
    for(int i=bitNum;i>=1;i--){
        LL x = num[i];
        LL y = i;
        n -= x*pow10[y-1];
        LL z = n;
        for(int j=0;j<10;j++){
            ans[j] += dp[y-1]*x;
        }
        for(int j=0;j<x;j++){
            ans[j]+=pow10[y-1];
        }
        ans[x] += z+1;
    }
    ans[0]-=zeroNum[bitNum];
}
 
int main(){
    cin>>a>>b;
    makeDp();
    solve(a-1,ans1);
    solve(b,ans2);
    for(int i=0;i<10;i++){
        printf("%lld ",ans2[i]-ans1[i]);
    }
}