Python数据结构与算法之跳表详解
0. 学习目标
在诸如单链表、双线链表等普通链表中，查找、插入和删除操作由于必须从头结点遍历链表才能找到相关链表，因此时间复杂度均为O(n)。跳表是带有附加指针的链表，使用这些附加指针可以跳过一些中间结点，用以快速完成查找、插入和删除等操作。本节将介绍跳表的相关概念及其具体实现。
通过本节学习，应掌握以下内容：
- 跳表的基本概念及其与普通链表的区别
- 跳表及其操作的实现
1. 跳表的基本概念
跳表 (Skip List) 是一种可以快速进行查找、插入和删除等操作的有序链表(链表中的数据项按照某种顺序进行排列的链表称为有序链表)。跳表的核心思想是以更大的跨度遍历链表，以便可以跳过中间结点。
1.1 跳表介绍
首先，让我们回想一下如何在以下单链表中查找数据元素，即使链表中的数据已经排好序，我们也需要从头结点开始遍历链表。
例如要在以上单链表中查找 15，查找过程为： 0-->3-->5 -->7-->10-->15。
为了提高查找的效率，我们可以抽取链表中的一部分结点建立一个起“索引”作用的链，称为“索引层”或简称“索引”：
此时我们查找 15，首先在索引层中遍历，当我们扫描到值为 10 的结点时，由于下一结点值为 27，因此我们知道 15 应当在这两个结点之间，然后回到原链表中遍历即可找到值为 15 的结点，遍历过程如下图绿色箭头所示：
可以看到通过建立索引链，需要遍历的结点数得以减少，为了进一步减少所需遍历的结点数，可以通过对索引链添加索引，跳表是对链表叠加多级索引的数据结构。
1.2 跳表的性能
1.3 跳表与普通链表的异同
我们可以将跳表理解为排序后的链表，但与普通链表相比，有以下不同点：
- 普通链表中的结点只有一个 next 指针，跳表中的结点有多个 next 指针；
- 给定结点的 next 指针的数量是随机确定的。
跳表中结点的每个 next 指针称为一层，结点中的层数称为结点的大小，其决定了结点在链表中的层级；在普通的有序链表中，插入、删除和查找操作需要对链表依次遍历，因此每个操作的时间复杂度均为O(n)，跳表允许在遍历时跳过一些中间节点，每个操作的时间复杂度为O(㏒n)。
2. 跳表的实现
跳表中的每个数据元素由一个结点表示，结点的层级在结点插入时随机选择，而不考虑数据结构中数据元素的数量。第i级结点有i个next 指针(在结点实现时使用大小为i的数组 next 存储i个 next 指针)，因此我们不需要在结点中存储结点的层级，使用最大层数 max_level 来限制层级上限。跳表的头结点具有从 1 级到 max_level 级的 next 指针。
2.1 跳表结点类
跳表的结点示意图如下所示，每个结点都有一组用于指向其它层级结点的指针域列表 next：
class Node:
def __init__(self, data, level=0):
self.data = data
self.next = [None] * level
def __str__(self):
return "Node({}, {})".format(self.data, len(self.next))
next 数组用于保存指向不同层级结点的指针，其中每个元素就是一个 next 指针，而 data 变量用于存储数据，重载 __str__ 方法用于便于打印结点对象，len(self.next) 可以用于表示结点中的层数。
2.2 跳表的初始化
跳表的初始化是建立一个空的带头结点的跳表，其表长 length 初始化为 0，此时链表中没有元素结点，只有一个头结点：
class SkipList:
def __init__(self, max_level=8):
self.max_level = max_level
node = Node(Node, max_level)
self.head = node
self.length = 0
创建跳表 SkipList 对象的时间复杂度为O(1)。
2.3 获取跳表长度
求取跳表长度只需要重载 __len__ 从对象返回 length 的值，因此时间复杂度为O(1)：
def __len__(self):
return self.length
2.4 读取指定位置元素
由于跳表中的每个结点的层级是在结点插入时随机选择的，因此读取指定位置的数据元素和单链表类似，需要顺序遍历第0层结点，操作的复杂度为O(n)，如果索引不在可接受的索引范围内，将引发 IndexError 异常：：
def __getitem__(self, index):
if index > self.length - 1 or index < 0:
raise IndexError("UnrolledLinkedList assignment index out of range")
else:
count = 0
node = self.head.next[0]
while count < index:
node = node.next[0]
count += 1
return node.data
2.5 查找指定元素
跳表的查找操作从最上层开始，如果待查元素 value 小于当前层的后继结点的 data，则平移至当前层的后继结点；否则下移进入下一层，继续比较，直至第一层。
def locate(self, value):
node = self.head
# 由于索引从0开始，因此第i层级的索引为i-1
level = self.max_level - 1
while level >= 0:
while node.next[level] != None and node.next[level].data < value:
# 平移到当前层的后继结点
node = node.next[level]
# 下移进入下一层
level -= 1
if node.next[0].data == value:
return node.next[0]
else:
raise ValueError("{} is not in skip list".format(value))
2.6 在跳表中插入新元素
与普通链表不同，在跳表中插入新元素不能指定位置(需要保证有序性)，需要通过查找确定新数据元素的插入位置。
插入元素前，首先需要确定该元素所占据的层数 level k，这是通过算法随机生成的，这样可以减少算法实现的复杂度，同时也可以保证跳表性能。
def random_level(self, max_level):
num = random.randint(1, 2**max_level -1)
lognum = math.log(num, 2)
level = int(math.floor(lognum))
return max_level - level
然后需要在 level 1, level 2, ..., level k 各层的链表都插入新元素，为了达到此目的，我们需要在查找插入位置时维护一个列表 update，update 中的每个元素 update[i] 指向 level i 中小于插入元素 data 的最右边结点，即插入位置的左侧，如下图所示，插入元素 data = 9，随机层数 k=3：
def update_list(self, data):
update = [None] * self.max_level
node = self.head
level = self.max_level - 1
while level >= 0:
while node.next[level] != None and node.next[level].data < data:
node = node.next[level]
update[level] = node
level -= 1
return update
可以看到维护 update 列表的过程与查找元素类似，根据 update 列表可以判断跳表中是否已存在元素 data，如果不存在将其插入跳表中：
def insert_node(self, data):
# 产生随机 level，并构造结点
level = self.random_level(self.max_level)
node = Node(data, level)
# 获取 update 列表
update = self.update_list(data)
# 插入结点
if len(update) == 0 or update[0].next[0] == None or update[0].next[0].data != data:
self.length += 1
for i in range(level):
node.next[i] = update[i].next[i]
update[i].next[i] = node
2.7 删除跳表中指定元素
删除指定元素与插入操作类似：
def delete_node(self, data):
# 获取 update 列表
update = self.update_list(data)
if len(update) > 0:
node = update[0].next[0]
# 删除指定元素结点
if node != None and node.data == data:
self.length -= 1
for i in range(len(node.next)):
update[i].next[i] = node.next[i]
del node
2.8 其它一些有用的操作
1.跳表指定层元素输出
将跳表指定层转换为字符串以便进行打印，编写 print_level 方法打印指定层中数据元素：
def get_level(self, level):
"""辅助函数，用于根据给定层构造结果字符串"""
node = self.head.next[level]
result = ''
while node:
result = result + str(node.data) + '-->'
node = node.next[level]
result += 'None'
return result
def print_level(self, level):
print('level {}'.format(level))
result = self.get_level(level)
print(result)
2.跳表各层元素输出
可以借助上述辅助函数 get_level，使用 str 函数调用对象上的 __str__ 方法可以创建适合打印的字符串表示：
def __str__(self):
result = ''
for i in list(range(self.max_level))[self.max_level-1:0:-1]:
result = result + self.get_level(i) + '\n'
result += self.get_level(0)
return result
3. 跳表应用
接下来，我们将测试上述实现的链表，以验证操作的有效性。
3.1 跳表应用示例
首先初始化一个跳表 sl，并在其中插入若干元素：
sl = SkipList(4)
for i in range(0, 30, 3):
sl.insert_node(i)
我们可以直接打印跳表中的数据元素、链表长度等信息：
print('跳表 sl 各层元素为：')
print(sl)
print('跳表 sl 长度为：', len(sl))
print('跳表 sl 第 2 个元素为：', sl[2])
以上代码输出如下：
跳表 sl 各层元素为： 9-->None 0-->9-->18-->None 0-->9-->18-->27-->None 0-->3-->6-->9-->12-->15-->18-->21-->24-->27-->None 跳表 sl 长度为： 10 跳表 sl 第 2 个元素为： 6
接下来，我们将演示在添加/删除元素、以及如何查找指定元素等：
# 插入元素
sl.insert_node(14)
print('在跳表 sl 中插入数据 14 后：')
print(sl)
# 删除元素
sl.delete_node(14)
print('删除跳表 sl 中数据 14 后：')
print(sl)
# 查找数据元素 15
print('查找跳表 sl 中数据元素 15：', sl.locate(15))
以上代码输出如下：
在跳表 sl 中插入数据 14 后： 9-->None 0-->9-->18-->None 0-->9-->14-->18-->27-->None 0-->3-->6-->9-->12-->14-->15-->18-->21-->24-->27-->None 删除跳表 sl 中数据 14 后： 9-->None 0-->9-->18-->None 0-->9-->18-->27-->None 0-->3-->6-->9-->12-->15-->18-->21-->24-->27-->None 查找跳表 sl 中数据元素 15： Node(15, 1)
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