C语言数组学习之特殊矩阵的压缩存储

首先最开始我们先回忆一下数组的概念

1.数组的定义

数组是由n个相同类型的数据元素构成的有限序列，每个数据元素称为一个数组元素，每个元素在n个线性关系中的序号称为该元素的下标，下标的取值范围称为数组的维界。

数组与线性表的关系

数组是线性表的推广

• 一维数组可以视为一个线性表
• 二维数组可视为其元素为定长线性表的线性表
• 数组一旦被定义，其维数和维界就不再改变，因此除了数组结构的初始化和销毁外，数组只能执行存储元素和修改元素的操作

在了解完数组的定义后，我们再了解一下数组在内存中是如何存储的

2.数组的存储结构

一个数组的所有元素在内存中占用一段连续的存储空间

一维数组的存储如下：

对于多维数组，比如二维数组来说，有两种映射方法：按行优先 和 按列优先

按行优先：先行后列，先存储行号较小的元素，行号相等先存储列号较小的元素

按列优先：先列后行，先存储列号较小的元素，列号相等先存储行号较小的元素

习题1

在了解数组在内存中的存储方式后，我们可以开始用数组来存储矩阵中的元素了！

3.对称矩阵

概念

对于一个n阶方阵A中的任意一个元素a_i,j都有a_i,j=a_j,i，则称为对称矩阵

对于一个对称矩阵我们可以将其中的元素划分为3个部分：上三角区，主对角线和下三角区

存储方法选择

土办法

用一个n*n的数组去完完整整地将整个矩阵中的元素给存储下来。

压缩存储法

我们发现对于n阶对称矩阵，上三角区的所有元素与下三角区的所有元素相同，若采用上述的土办法，将会浪费几乎一半的空间，因此我们将其中重复相同的元素只存放一次。

存储主对角线和下三角区

可见，采取行优先的原则将主对角线和下三角区的元素存入数组B当中

那么在数组B当中，a_i,j对应B[?]呢？我们可以自己通过计算得出一个映射公式

习题1

习题2

4.三角矩阵

概念

存储方法选择

土办法

用一个n*n的数组去完完整整地将整个矩阵中的元素给存储下来。

压缩存储法

与对称矩阵不同之处在于，存储完下三角区和主对角线上的元素之后，紧接着存储对角线上方的常量一次。

按行存储主对角线和下三角区+常量C

按行存储主对角线和上三角区+常量C

5.三对角矩阵

概念

对角矩阵称为带状矩阵；在三对角矩阵中，所有非零元素都集中在以主对角线为中心的3条对角线的区域，其他区域的元素都为零

存储方法选择

压缩存储法

习题1

6.稀疏矩阵

概念

矩阵中非零元素的个数t，相对矩阵元素的个数s来说非常少，即s>>t的矩阵称为稀疏矩阵。

存储方法选择

三元组存储

十字链表法