C语言中斐波那契数列的三种实现方式(递归、循环、矩阵)
《剑指offer》里讲到了一种斐波那契数列的 O(logN) 时间复杂度的实现，觉得挺有意思的，三种方法都记录一下。
一、递归
一般来说递归实现的代码都要比循环要简洁，但是效率不高，比如递归计算斐波那契数列第n个元素。
long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n) {
// printf("%d ", n);
if (n <= 0) return 0;
if (n == 1) return 1;
return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}
如果计算数列的第4个位置上（从0开始）的数（0 1 1 2 3），也就是3，上边的 printf 输出应该是 4 3 2 1 0 1 2 1 0，这是因为计算 F(4) 要计算 F(3) 和 F(2)，而计算 F(3) 的时候又要计算 F(2) 和 F(1)，所以会有很多重复计算。用下图可以更好地说明。
递归虽然有简洁的优点，但它同时也有显著地缺点。递归由于是函数调用自身，而函数调用是有空间和时间的消耗的：每一次函数调用，都需要在内存栈中分配空间以保存参数、返回地址及临时变量，而且往栈里压入数据和弹出数据都需要时间。
而且除了效率问题之外，递归可能引起 调用栈溢出，因为需要为每一次函数调用在内存栈中分配空间，而每个进程的栈的容量是有限的。当蒂固的层级太多，就会超出栈的容量，导致栈溢出。比如上边的代码，输入40，可以正确返回 12502500，但是输入 5000 就会出错。
二、循环
最常规的正确做法就是用循环从小到大计算。
long long Fibonacci_Solution2(unsigned n) {
if (n <= 1) return n;
long long fib1 = 1, fib0 = 0, fibN = 0;
for (unsigned int i = 2; i <= n; ++i) {
fibN = fib1 + fib0;
fib0 = fib1;
fib1 = fibN;
}
return fibN;
}
或者下边这种
long long Fibonacci_Solution2(unsigned n) {
if (n <= 1) return n;
long long a = 0, b = 1;
for (unsigned int i = 2; i <= n; ++i) {
b = a + b;
a = b - a;
}
return b;
}
三、矩阵
数中提到了一种 O(logN) 时间复杂度的算法，就是利用数学公式计算。
首先需要知道下边这个数学公式：
这个公式用数学归纳法可以证明，所以只需要计算右边矩阵的 n-1 次方就能得到 f(n)，现在问题就变成了计算 2x2 矩阵的 n-1 次方，这样做 n-2 次乘法就可以了，时间复杂度还是 O(N)，但是还可以加速，如下式：
所以我们可以看出，想求 n 次方可以求出 n / 2 次方再平方，所以时间复杂度可以将为 O(logN)。
struct Matrix2By2 {
Matrix2By2(long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0, long long m11 = 0)
:m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) {}
long long m_00, m_01, m_10, m_11;
};
Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2) {
return Matrix2By2( matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11 );
}
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n) {
assert(n > 0);
Matrix2By2 matrix;
if (n == 1)
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
else if (n % 2 == 0) { // n是偶数
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
}
else if (n % 2 == 1) { // n是奇数
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n) {
if (n <= 1) return n;
Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
return PowerNMinus2.m_00;
}
为了测试上边三种方式的代码的正确性，可以用如下样例来测试。
// ====================测试代码====================
void Test(int n, int expected) {
if (Fibonacci_Solution1(n) == expected)
printf("Test for %d in solution1 passed.\n", n);
else
printf("Test for %d in solution1 failed.\n", n);
if (Fibonacci_Solution2(n) == expected)
printf("Test for %d in solution2 passed.\n", n);
else
printf("Test for %d in solution2 failed.\n", n);
if (Fibonacci_Solution3(n) == expected)
printf("Test for %d in solution3 passed.\n", n);
else
printf("Test for %d in solution3 failed.\n", n);
}
int main(int argc, char* argv[]) {
Test(0, 0);
Test(1, 1);
Test(2, 1);
Test(3, 2);
Test(4, 3);
Test(5, 5);
Test(6, 8);
Test(7, 13);
Test(8, 21);
Test(9, 34);
Test(10, 55);
Test(40, 102334155);
return 0;
}
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