C++中实现fibonacci数列的几种方法
前言
fibonacci数列的实现主要有三种方法：递归、循环与矩阵。这里主要学习了如何在C++中实现这三种方法以及分析它们各自的时间复杂度。
本文参考文章如下：https://www.jb51.net/article/235674.htm
一、fibonacci数列是什么？
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）
二、递归实现
1.递归的特点
- 递归：函数自己调用自己
- 递归的"缺陷"：递归到一定程度，会发生"栈溢出"
- 递归的"时间复杂度"：递归总次数*每次递归的次数
- 递归的"空间复杂度"：递归的深度*每次递归空间的大小（注意："每次递归空间的大小"是个常数，可以基本忽略不计）
- 递归的"深度"：树的高度（递归的过程是一个"二叉树"）
2.C++实现
int main(){
int n;
long long sum;
scanf("%d",&n);
sum =fb(n);
printf("%lld\n",sum);
return 0;
}
long long fb(int n){
if(n<1){
return 0;
}else if(n==1||n==2){
return 1;
}
return (fb(n-1)+fb(n-2));
}
3.时间复杂度
二叉树的高度是 n - 1，一个高度为k的二叉树最多可以有 2^k - 1个叶子节点，也就是递归过程函数调用的次数，所以时间复杂度为 O(2^n)，而空间复杂度就是树的高度 O(n)。
三、循环实现
1.C++实现
long long Fib(long long N)
{
long long first = 1;
long long second = 1;
long long ret = 0;
for (int i = 3; i <=N; ++i)
{
ret = first + second;
first = second;
second = ret;
}
return second;
}
int main()
{
long long num = 0;
num=Fib(10);
printf("循环：%d\n", num);
system("pause");
return 0;
}
2.时间复杂度
- 时间复杂度：O(N)
- 空间复杂度：O(1)（创建了四个对象，是常数，所以可忽略不计）
四、矩阵实现
1.理论推导
斐波那契数列的递推公式是：f(n)=f(n-1)+f(n-2);
在线性代数中，类似于斐波那契数列这种递推式称为二阶递推式。我们可以用f(n)=af(n-1)+bf(n-2)将二阶递推式一般化。只要符合这种二阶递推式的算法，都可以将算法的时间复杂度降为O(logN)。当然，三阶，四阶....都可以，只要得到递推公式的n阶矩阵即可。如下：
f(n)=af(n-1)+bf(n-2)+......
(f(n),f(n-1))=(f(n-1),f(n-2))*matrix;(matrix是一个矩阵，几阶递推式就是几阶的矩阵，在这里是二阶的矩阵，斐波那契数列属于二阶)
……………………①
………………②
于是只要求得
即可。
而类似求还可以简化（快速幂）
例如：
10^68，我们通常是10*10乘上68次，这样时间效率为O(N),我们要用O(logN)方法算:
68的二进制序列为：1000100
10^68=10^64*10^4，也就是取出68二进制序列为1的位，其他忽略。这样我们只算了7次（二进制序列的长度）就可以算出10^68，效率就达到了O(logN)。（最优化算法的关键所在）
所以时间复杂度可以达到最优化O（logN）。
2.C++实现
struct Matrix2By2 {
Matrix2By2(long long m00 = 0, long long m01 = 0, long long m10 = 0, long long m11 = 0)
:m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) {}
long long m_00, m_01, m_10, m_11;
};
Matrix2By2 MatrixMultiply(const Matrix2By2& matrix1, const Matrix2By2& matrix2) {
return Matrix2By2( matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11 );
}
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n) {
assert(n > 0);
Matrix2By2 matrix;
if (n == 1)
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
else if (n % 2 == 0) { // n是偶数
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
}
else if (n % 2 == 1) { // n是奇数
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n) {
if (n <= 1) return n;
Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
return PowerNMinus2.m_00;
}
3.时间复杂度
O（logN）。
