C++全排列中递归交换法实例详解

对于求解全排列问题有最暴力的递归枚举法，但是我们希望可以优化时间，因此出现了递归交换法。

例题

洛谷1706

题目描述

输出自然数1到n所有不重复的排列，即n的全排列，要求所产生的任一数字序列中不允许出现重复的数字。

输入格式

一个整数n。

输出格式

由1～n组成的所有不重复的数字序列，每行一个序列。

每个数字保留 5个场宽。

输入样例

3

输出样例

1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

全排列问题――递归交换法

其实跟暴力枚举思路差不多，每次递归枚举第x个数字是几，之后a[x]可以选择不动，也可以选择与后面任意一个数交换位置，就是从后面选一个数放到x的位置上。

简而言之，就是每到一位就从后面选一个尚未被使用过的数字与该位数字交换，这里有些难理解，您可以自己按照程序推一下样例。

这样我们就可以打印所有的全排列了，但这样不是按顺序打印，所以这里需要每次对a[x] ~ a[n]进行排序。

举个例子，如对1、2、3进行全排列。当我们交换1和3后，序列变为3、2、1，如果说这里不排序，直接2、1都保持不动，就输出3、2、1了，可是我们先要的应该是3、1、2，所以要进行排序。

最后，算一下时间复杂度，我们发现需要从1到n一位一位的看，之后每位还要枚举x ~ n，所以总时间复杂度为O(n!)。

代码

# include <cstdio>
# include <cmath>
# include <cstring>
# include <algorithm>

using namespace std;

const int N_MAX = 10;

int n;
int a[N_MAX + 10];

void permutation(int x)
{
 if (x == n) {
  for (int i = 1; i <= n; i++)
   printf("%5d", a[i]);
  printf("\n");
  return;
 }
 for (int i = x; i <= n; i++) {
  sort(a + x, a + n + 1);
  swap(a[x], a[i]);
  permutation(x + 1);
  swap(a[x], a[i]);
 }
}

int main()
{
 scanf("%d", &n);
 for (int i = 1; i <= n; i++)
  a[i] = i;
 permutation(1);
 return 0;
}