C#并查集(union-find)算法详解

时间：2022-08-23 10:22:55|栏目：.NET代码|点击：次

算法的主题思想:

1.优秀的算法因为能够解决实际问题而变得更为重要；

2.高效算法的代码也可以很简单；

3.理解某个实现的性能特点是一个挑战；

4.在解决同一个问题的多种算法之间进行选择时，科学方法是一种重要的工具；

5.迭代式改进能够让算法的效率越来越高效；

1. 动态连通性

动态连接：输入是一对整数对的序列，其中每个整数代表某种类型的对象（或触点），我们将整数对p q 解释为意味着p连接到q。我们假设“连接到”是等价关系：

对称性：如果p连接到q，则q 连接到p。
传递性：如果p连接到q且q 连接到r，则p连接到r。
自反性：p与p连接。

等价关系将对象划分为多个等价类或连接的组件。等价类称为连通分量或分量。
我们的目标是编写一个程序，以从序列中过滤掉多余的对：当程序从输入中读取整数对 p q时，只有在该对点不等价的情况下，才应将对写入到输出中，并且将p连接到q。如果等价，则程序应忽略整数对pq 并继续读取下对。

动态连通性问题的应用：

1.网络
2.变量名等价性
3.数学集合

在更高的抽象层次上，可以将输入的所有整数看做属于不同的数学集合。

2. 定义问题

设计算法的第一个任务就是精确地定义问题。

算法解决的问题越大，它完成任务所需的时间和空间可能越多。我们不可能预先知道这其间的量化关系，通常只会在发现解决问题很困难，或是代价巨大，或是发现算法所提供的信息比原问题所需要的更加有用时修改问题。例如，连通性问题只要求我们的程序能够判断出给定的整数对是否相连，但并没有要求给出两者之间的通路上的所有连接。这样的要求更难，并会得出另一组不同的算法。

为了定义和说明问题，先设计一份API 来封装基本操作: 初始化，连接两个触点，查找某个触点的分量，判断两个触点是否属于同一分量，分量的数量：

    /// <summary>
    /// 动态连通API
    /// </summary>
    public interface IUnionFind
    {
        /// <summary>
        /// 连接
        /// </summary>
        /// <param name="p"></param>
        /// <param name="q"></param>
        void Union(int p, int q);

        /// <summary>
        /// 查找触点 p 的分量标识符
        /// </summary>
        /// <param name="p"></param>
        /// <returns></returns>
        int Find(int p);

        /// <summary>
        /// 判断两个触点是否处于同一分量
        /// </summary>
        /// <param name="p"></param>
        /// <param name="q"></param>
        /// <returns></returns>
        bool Connected(int p, int q);

        /// <summary>
        /// 连通分量的数量
        /// </summary>
        /// <returns></returns>
        int Count();
    }

为解决动态连通性问题设计算法的任务转化为实现这份API：

1. 定义一种数据结构表示已知的连接；
2. 基于此数据结构高效的实现API的方法；

数据结构的性质会直接影响算法的效率。这里，以触点为索引，触点和连接分量都是用 int 值表示，将会使用分量中某个触点的值作为分量的标识符。所以，一开始，每个触点都是只含有自己的分量，分量标识符为触点的值。由此，可以初步实现一部分方法：

    public class FirstUnionFind:IUnionFind
    {
        private int[] id;//* 分量id 以触点作为索引
        private int count;//分量数量

        public FirstUnionFind(int n)
        {
            count = n;
            id = new int[n];
            for (var i = 0; i < n; i++)
            {
                id[i] = i; // 第一个 i 作为触点，第二个 i 作为触点的值
            }
        }

        public int Count()
        {
            return count;
        }

        public bool Connected(int p, int q)
        {
            return Find(p) == Find(q);
        }

        public int Find(int p)
        {
            
        }

        public void Union(int p, int q)
        {
            
        }
    }

Union-find 的成本模型是数组的访问次数(无论读写)。

3. quick-find算法实现

quick-find 算法是保证当且仅当 id[p] 等于 id[q] 时，p 和 q 是连通的。也就是说，在同一个连通分量中的所有触点在 id[ ] 中的值全部相等。

所以Find 方法只需返回id[q]，Union 方法需要先判断Find(p) 是否等于Find(q) ,若相等直接返回；若不相等，需要将 q 所在的连通分量中所有触点的 id [ ] 值全部更新为 id[p]。

    public class QuickFindUF: IUnionFind
    {
        private int[] id;//* 分量id 以触点作为索引
        private int count;//分量数量

        public QuickFindUF(int n)
        {
            count = n;
            id = new int[n];
            for (var i = 0; i < n; i++)
            {
                id[i] = i; // 第一个 i 作为触点，第二个 i 作为触点的值
            }
        }

        public int Count()
        {
            return count;
        }

        public bool Connected(int p, int q)
        {
            return Find(p) == Find(q);
        }

        public int Find(int p)
        {
            return id[p];
        }

        public void Union(int p, int q)
        {
            var pID = Find(p);
            var qID = Find(q);

            if (pID == qID)
                return;

            for (var i = 0; i < id.Length; i++)
            {
                if (id[i] == qID)
                    id[i] = pID;
            }
            count--; //连通分量减少
        }

        public void Show()
        {
            for(var i = 0;i<id.Length;i++)
                Console.WriteLine("索引："+i+",值："+ id[i] );
            Console.WriteLine("连通分量数量："+count);
        }
    }

算法分析

Find() 方法只需访问一次数组，所以速度很快。但是对于处理大型问题，每对输入 Union() 方法都需要扫描整个数组。

每一次归并两个分量的 Union() 方法访问数组的次数在 N+3 到 2N+1 之间。由代码可知，两次 Find 操作访问两次数组，扫描数组会访问N次，改变其中一个分量中所有触点的值需要访问 1 到 N - 1 次（最好情况是该分量中只有一个触点，最坏情况是该分量中有 N - 1个触点），2+N+N-1。

如果使用quick-find 算法来解决动态连通性问题并且最后只得到一个连通分量，至少需要调用 N-1 次Union() 方法，那么至少需要 (N+3)(N-1) ~ N^2 次访问数组，是平方级别的。

4. quick-union算法实现

quick-union 算法重点提高 union 方法的速度，它也是基于相同的数据结构 -- 已触点为索引的 id[ ] 数组，但是 id[ ] 的值是同一分量中另一触点的索引(名称)，也可能是自己（根触点）——这种联系成为链接。

在实现 Find() 方法时，从给定触点，链接到另一个触点，知道到达根触点，即链接指向自己。同时修改 Union() 方法，分别找到 p q 的根触点，将其中一个根触点链接到根触点。

    public class QuickUnionUF : IUnionFind
    {
        private int[] id;
        private int count;

        public QuickUnionUF(int n)
        {
            count = n;
            id = new int[n];
            for (var i = 0; i < n; i++)
            {
                id[i] = i; // 第一个 i 作为触点，第二个 i 作为触点的值
            }
        }

        public int Count()
        {
            return count;
        }

        public bool Connected(int p, int q)
        {
            return Find(p) == Find(q);
        }

        public int Find(int p)
        {
            while (p != id[p])
                p = id[p];
            return p;
        }

        public void Union(int p, int q)
        {
            var pRoot = Find(p);
            var qRoot = Find(q);

            if (pRoot == qRoot)
                return;

            id[pRoot] =qRoot;
            count--; //连通分量减少  
        }
        public void Show() 
        { 
            for (var i = 0; i < id.Length; i++) 
            Console.WriteLine("索引：" + i + ",值：" + id[i]); 
            Console.WriteLine("连通分量数量：" + count); 
        }
    }

森林表示

id[ ] 数组用父链接的形式表示一片森林，用节点表示触点。无论从任何触点所对应的节点随着链接查找，最后都将到达含有该节点的根节点。初始化数组之后，每个节点的链接都指向自己。

算法分析

定义：一棵树的大小是它的节点的数量。树中一个节点的深度是它到根节点的路径上链接数。树的高度是它的所有节点中的最大深度。

quick-union 算法比 quick-find 算法更快，因为它对每对输入不需要遍历整个数组。

分析quick-union 算法的成本比 quick-find 算法的成本要困难，因为quick-union 算法依赖于输入的特点。在最好的情况下，find() 方法只需访问一次数组就可以得到一个触点的分量表示；在最坏情况下，需要 2i+1 次数组访问(i 时触点的深度)。由此得出，该算法解决动态连通性问题，在最佳情况下的运行时间是线性级别，最坏情况下的输入是平方级别。解决了quick-find 算法中 union() 方法总是线性级别，解决动态连通性问题总是平方级别。

quick-union 算法中 find() 方法访问数组的次数为 1(到达根节点只需访问一次) 加上给定触点所对应节点的深度的两倍（while 循环，一次读，一次写）。union() 访问两次 find() ，如果两个触点不在同一分量还需加一次写数组。

假设输入的整数对是有序的 0-1， 0-2，0-3 等，N-1 对之后N个触点将全部处于相同的集合之中，且得到的树的高度为 N-1。由上可知，对于整数对 0-i , find() 访问数组的次数为 2i + 1,因此，处理 N 对整数对所需的所有访问数组的总次数为 3+5+7+ ......+(2N+1) ~ n^2

5.加权 quick-union 算法实现

简单改动就可以避免 quick-union算法出现最坏情况。quick-union算法 union 方法是随意将一棵树连接到另一棵树，改为总是将小树连接到大树，这需要记录每一棵树的大小，称为加权quick-union算法。

代码：

    public class WeightedQuickUnionUF: IUnionFind
    {
        int[] sz;//以触点为索引的 各个根节点对应的分量树大小
        private int[] id;
        private int count;

        public WeightedQuickUnionUF(int n)
        {
            count = n;
            id = new int[n];
            sz = new int[n];
            for (var i = 0; i < n; i++)
            {
                id[i] = i; // 第一个 i 作为触点，第二个 i 作为触点的值
                sz[i] = 1;
            }
        }

        public int Count()
        {
            return count;
        }

        public bool Connected(int p, int q)
        {
            return Find(p) == Find(q);
        }

        public int Find(int p)
        {
            while (p != id[p])
                p = id[p];
            return p;
        }

        public void Union(int p, int q)
        {
            var pRoot = Find(p);
            var qRoot = Find(q);

            if (pRoot == qRoot)
                return;

            if (sz[pRoot] < sz[qRoot])
            {
                id[pRoot] = qRoot;
            }
            else
            {
                id[qRoot] = pRoot;
            }
                
            count--; //连通分量减少
        }

        public void Show()
        {
            for (var i = 0; i < id.Length; i++)
                Console.WriteLine("索引：" + i + ",值：" + id[i]);
            Console.WriteLine("连通分量数量：" + count);
        }
    }